Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即為 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-2x+2lnx；$f'（x）=2x-2+\frac{2}{x}$
則f（1）=-1，f'（1）=2
所以切線方程為y+1=2（x-1），
即為y=2x-3．
（Ⅱ）$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}（x＞0）$
令$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=0$，則2x²-2x+a=0
當(dāng)△=4-8a≤0，$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）≥0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；
當(dāng)△=4-8a＞0且a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)；
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，則x₁+x₂=1，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由0＜a＜$\frac{1}{2}$，可得0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{2x}_{1}+al{nx}_{1}}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），h′（x）=-1-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，則-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即 $\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或范圍，屬于中檔題．