16.在△ABC中,若$asinBcosC+csinBcosA=\frac{1}{2}b$,且a>b,
(1)求角B的大;
(2)若$b=\sqrt{13},a+c=4$,求△ABC的面積.

分析 (1)利用正弦定理公式化簡,即可求角B的大。
(2)運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理可得角A,再由正弦定理,計(jì)算即可得到c.

解答 解:(1)由$asinBcosC+csinBcosA=\frac{1}{2}b$,
可得:sinAcosC+sinCcosA=$\frac{1}{2}$,
?sin(A+C)=$\frac{1}{2}$
?sinB=$\frac{1}{2}$.
∵a>b,
∴B=$\frac{π}{6}$.
(2)$b=\sqrt{13},a+c=4$,
∴(a+c)2=16,即a2+c2+2ac=16
由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$,可得:${a}^{2}+{c}^{2}=\sqrt{3}ac+13$,
∴ac(2+$\sqrt{3}$)=3,
ac=3(2-$\sqrt{3}$)
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×3(2-\sqrt{3})×\frac{1}{2}$=$\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的正余弦定理的運(yùn)用和計(jì)算能力以及三角形的面積的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
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11.已知曲線C:$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),直線l:ρ(cosθ-$\sqrt{3}$sinθ)=12.
(Ⅰ)求直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P在曲線C上,求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.

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1.在進(jìn)行一項(xiàng)擲骰子放球游戲中,規(guī)定:若擲出1點(diǎn),甲盒中放一球;若擲出2點(diǎn)或3點(diǎn),乙盒中放一球;若擲出4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn),丙盒中放一球,前后共擲3次,設(shè)x、y、z分別表示甲、乙、丙3個(gè)盒子中的球數(shù)..
(1)求擲完3次后,x=0,y=1,z=2的概率;
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(Ⅰ)將直線l寫成參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$(t為參數(shù),α∈[0,π))的形式,并求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
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