Question

7．等差數(shù)列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n項和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{{S_{n+1}}-1}}$，求其前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，通過等差數(shù)列的通項公式，可得方程，解方程可得首項和公差，進而得到所求；
（2）運用等差數(shù)列的求和公式，和數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
2a₁+3a₂=2a₁+3（a₁+d）=5a₁+3d=11，
2a₃=a₂+a₆-4，即2（a₁+2d）=a₁+d+a₁+5d-4，得d=2，a₁=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）${S_n}=n{a_1}+\frac{1}{2}n（n-1）d=n×1+\frac{1}{2}n（n-1）×2={n^2}$，${b_n}=\frac{1}{{{S_{n+1}}-1}}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}-1}}=\frac{1}{{{n^2}+2n}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$（n∈N*）．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．