Question

4．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=-4x²+8x．若在區(qū)間[a，b]上，存在m（m≥3）個不同整數(shù)x_i（i=1，2，…，m），滿足$\sum_{i=1}^{m-1}$|f（x_i）-f（x_i+1）|≥72，則b-a的最小值為（　　）

• A． 15
• B． 16
• C． 17
• D． 18

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得函數(shù)周期為8，且函數(shù)的圖形關(guān)于x=2對稱，從而畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象，要使b-a取最小值，則不同整數(shù)x_i為極值點(diǎn)即可．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），得f（x+2+2）=f（2-x-2）=f（-x）=-f（x），即f（x+4）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+4）=-[-f（x）]=f（x）．∴f（x）的周期為8．函數(shù)f（x）的圖形如下：

比如，當(dāng)不同整數(shù)x_i分別為-1，1，2，5，7…時，b-a取最小值，∵f（-1）=-4，f（1）=4，f（2）=0，
至少需要2個+$\frac{1}{4}$個周期，則b-a的最小值為18，
故選：D

點(diǎn)評 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．