拋物線,直線過拋物線的焦點,交軸于點.

(1)求證:
(2)過作拋物線的切線,切點為(異于原點),
(i)是否恒成等差數(shù)列,請說明理由;
(ii)重心的軌跡是什么圖形,請說明理由.

(1)即證(2)能拋物線

解析試題分析:(1)由于點F的坐標已知,所以可假設直線AB的方程(依題意可得直線AB的斜率存在).寫出點P的坐標,聯(lián)立直線方程與拋物線方程消去y,即可得到一個關于x的一元二次方程,寫出韋達定理,再根據(jù)欲證轉(zhuǎn)化為點的坐標關系.
(2)(i)根據(jù)提議分別寫出,結合韋達定理驗證是否成立.
(ii)由三角形重心的坐標公式,結合韋達定理,消去參數(shù)k即可得到重心的軌跡.
試題解析:(1)因為,所以假設直線AB為,,所以點.聯(lián)立可得,,所以.因為.所以.
(2)(i)設,的導數(shù)為.所以可得,即可得.即得.
..所以可得是否恒成等差數(shù)列.
(ii)因為重心的坐標為由題意可得.即,消去k可得.
考點:1.拋物線的性質(zhì).2.解方程的思想.3.等差數(shù)列的證明.4.三角形的重心的公式.5.運算能力.6.分析問題和解決問題的能力、以及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在坐標原點,對稱軸為坐標軸,焦點在軸上,有一個頂點為,
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線與橢圓交于兩點,線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

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已知橢圓的右焦點,長軸的左、右端點分別為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過焦點斜率為)的直線交橢圓兩點,弦的垂直平分線與軸相交于點. 試問橢圓上是否存在點使得四邊形為菱形?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

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已知拋物線C:,點A、B在拋物線C上.

(1)若直線AB過點M(2p,0),且=4p,求過A,B,O(O為坐標原點)三點的圓的方程;
(2)設直線OA、OB的傾斜角分別為,且,問直線AB是否會過某一定點?若是,求出這一定點的坐標,若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知定點與分別在軸、軸上的動點滿足:,動點滿足
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設過點任作一直線與點的軌跡交于兩點,直線與直線分別交于點為坐標原點);
(i)試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系;
(ii)探究是否為定值?并證明你的結論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點A(1,0)的直線,使點C(2,0)關于直線的對稱點在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,已知,是橢圓上不同的三點,,在第三象限,線段的中點在直線上.

(1)求橢圓的標準方程;
(2)求點C的坐標;
(3)設動點在橢圓上(異于點,,)且直線PBPC分別交直線OA,兩點,證明為定值并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的焦距為,過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為,為坐標原點.
(1)求橢圓的方程.
(2)設斜率為的直線相交于、兩點,記面積的最大值為,證明:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標系中,點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4,其中C1,C2. 設點P的軌跡為
(1)求C的方程;
(2)設直線與C交于A,B兩點.問k為何值時?此時的值是多少?

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