Question

7．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，直線l：y=kx+a（a＞0）與拋物線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l過焦點F，且與圓x²+（y-1）²=1交于D，E（其中A，D在y軸同側），求證：|AD|•|BE|是定值；
（Ⅱ）設拋物線C在A和B點的切線交于點P，試問：y軸上是否存在點Q，使得APBQ為菱形？若存在，請說明理由并求此時直線l的斜率和點Q的坐標．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立x²=4y與y=kx+a有x²-4kx-4a=0，
則△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a．
（Ⅰ）由拋物線的定義有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，則|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，
|AD|•|BE|=y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=${k^2}{x_1}{x_2}+k（{{x_1}+{x_2}}）+1=-4{k^2}+4{k^2}+1=1$，即可；
（Ⅱ）當直線l的斜率為0，且Q（0，3a）時APBQ為菱形．理由如下
 方法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），若APBQ為菱形，可得${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，
則y₁=y₂，∴k=0，∴$A（{-2\sqrt{a}，a}），B（{2\sqrt{a}，a}）$，
則拋物線C在$A（{-2\sqrt{a}，a}）$處的切線為$y=-\sqrt{a}x-a$，拋物線C在$B（{2\sqrt{a}，a}）$處的切線為$y=\sqrt{a}x-a$
可得P（0，-a），又AB的中點為R（0，a），所以Q（0，3a）
方法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，則$y'=\frac{1}{2}x$，
若APBQ為菱形，則${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，則y₁=y₂，∴k=0
此時直線AB：y=kx+a=a，則${y_0}=-\frac{1}{2}{x_1}{x_2}+{y_1}=-\frac{1}{2}•（{-4a}）+a=3a$，即Q（0，3a）

解答 解：拋物線C：x²=4y的焦點F（0，1），（1分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立x²=4y與y=kx+a有x²-4kx-4a=0，
則△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a．（2分）
（Ⅰ）若直線l過焦點F，則a=1，則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
由條件可知圓x²+（y-1）²=1圓心為F（0，1），半徑為1，
由拋物線的定義有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
則|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，|AD|•|BE|=y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=${k^2}{x_1}{x_2}+k（{{x_1}+{x_2}}）+1=-4{k^2}+4{k^2}+1=1$，
（或$|{AD}|•|{BE}|={y_1}{y_2}=\frac{x_1^2}{4}•\frac{x_1^2}{4}=\frac{{{{（{{x_1}{x_2}}）}^2}}}{16}=\frac{{{{（{-4}）}^2}}}{16}=1$）
即|AD|•|BE|為定值，定值為1．（5分）


（Ⅱ）當直線l的斜率為0，且Q（0，3a）時APBQ為菱形．理由如下：（6分）
 方法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，則$y'=\frac{1}{2}x$，（7分）
若APBQ為菱形，則AQ∥BP，BQ∥AP，則${k_{AQ}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=\frac{1}{2}{x_2}，{k_{BQ}}=\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}=\frac{1}{2}{x_1}$，
即${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，
則y₁=y₂，∴k=0，∴$A（{-2\sqrt{a}，a}），B（{2\sqrt{a}，a}）$，（9分）
則拋物線C在$A（{-2\sqrt{a}，a}）$處的切線為$y-a=-\sqrt{a}（{x+2\sqrt{a}}）$，即$y=-\sqrt{a}x-a$…①
同理拋物線C在$B（{2\sqrt{a}，a}）$處的切線為$y=\sqrt{a}x-a$…②（10分）
聯立①②P（0，-a）．（11分）
又AB的中點為R（0，a），所以Q（0，3a）．（12分）
方法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，則$y'=\frac{1}{2}x$，（7分）
若APBQ為菱形，則AQ∥BP，BQ∥AP，
則${k_{AQ}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=\frac{1}{2}{x_2}，{k_{BQ}}=\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}=\frac{1}{2}{x_1}$，即${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，
則y₁=y₂，∴k=0，（9分）
此時直線AB：y=kx+a=a，則${y_0}=-\frac{1}{2}{x_1}{x_2}+{y_1}=-\frac{1}{2}•（{-4a}）+a=3a$（11分）
所以Q（0，3a）．（12分）

點評 本題考查了拋物線的方程、性質，拋物線的切線，考查了方程思想、轉化思想，考查了運算能力，屬于中檔題．