Question

12．當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x²+ax+a+1＜0恒成立，則a的范圍是（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)，通過f（2），f（3）均小于0，求解即可．
法二：當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x²+ax+a+1＜0恒成立，則a＜$\frac{{-x}^{2}-1}{x+1}$在x∈[2，3]時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最大值，可得答案．

解答 解：法一：當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x²+ax+a+1＜0恒成立，由二次函數(shù)y=x²+ax+a+1的性質(zhì)，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（3）＜0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{4+2a+a+1＜0}\\{9+3a+a+1＜0}\end{array}\right.$，解得a＜$-\frac{5}{2}$．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-∞，$-\frac{5}{2}$）；
故答案為：（-∞，$\frac{5}{2}$）；
法二：當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x²+ax+a+1＜0恒成立，
則則a＜$\frac{{-x}^{2}-1}{x+1}$在x∈[2，3]時(shí)恒成立，
令y=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$
則y′=-$\frac{2x（x+1）-{x}^{2}-1}{（{x+1）}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-2x+1}{（x+1）^{2}}$＜0在x∈[2，3]時(shí)恒成立，
故y=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$
在x∈[2，3]時(shí)為減函數(shù)，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最小值$-\frac{5}{2}$，
故a＜$-\frac{5}{2}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-∞，$-\frac{5}{2}$）；
故答案為：（-∞，-$\frac{5}{2}$）；

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了恒成立問題，函數(shù)的值域與最值，難度中檔．