Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sinωxcosωx+\sqrt{2}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ω＞0}）$，若x=$\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，則實數(shù)ω的值可以是（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），由直線x=$\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，得到2ω×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$，由此利用驗證法能求出實數(shù)ω的可能取值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sinωxcosωx+\sqrt{2}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ω＞0}）$
=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
直線x=$\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，
則2ω×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
經(jīng)驗證四個選項，只有ω=$\frac{1}{2}$符合，
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)二倍角公式、三角函數(shù)恒等變換、正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、整體思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．