Question

8．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos2θ=18，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{6}$，曲線C₁，C₂相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）曲線C₁與直線$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）分別相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由θ=$\frac{π}{6}$，代入ρ²cos2θ=18，可得ρ=±6，進(jìn)而得到點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)．
（2）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²cos2θ=18化為ρ²（cos²θ-sin²θ）=18，即可得到普通方程為x²-y²=18．將直線$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²-y²=8，整理得${t}^{2}+4\sqrt{3}t-28=0$．進(jìn)而得到|MN|．

解答 解：（1）θ=$\frac{π}{6}$，代入ρ²cos2θ=18，可得ρ=±6，
∴A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（6，$\frac{π}{6}$），（-6，$\frac{π}{6}$）；
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos2θ=18，化為ρ²（cos²θ-sin²θ）=18，
得到直角坐標(biāo)方程為x²-y²=18，
直線$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²-y²=18，
整理得${t}^{2}+4\sqrt{3}t-28=0$．
∴|MN|=$\sqrt{（-4\sqrt{3}）^{2}-4×（-28）}$=4$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、參數(shù)方程化為普通方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法．