Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinx．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，證明：${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$；
（2）若當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，$f（x）+\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}＞ax$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=cosx，設(shè)$g（x）={f^'}（x）-（{1-\frac{x^2}{2}}）=cosx-（{1-\frac{x^2}{2}}）$，則g′（x）=1-cosx＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x＞0時(shí)，${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$．
（2）原不等式等價(jià)于sinx+tanx＞ax，設(shè)h（x）=sinx+tanx-ax，則${h^'}（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，$0＜x＜\frac{π}{2}$，令 t=cosx，由 $0＜x＜\frac{π}{2}$，得0＜t＜1，設(shè)$t+\frac{1}{t^2}=k（t）$，則${k^'}（t）=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}＜0$，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵函數(shù)f（x）=sinx，x＞0，∴f′（x）=cosx，
設(shè)$g（x）={f^'}（x）-（{1-\frac{x^2}{2}}）=cosx-（{1-\frac{x^2}{2}}）$，
則g′（x）=-sinx+x，g''（x）=1-cosx＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴g′（x）＞g′（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$．
（2）當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，$f（x）+\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}＞ax$恒成立，
等價(jià)于sinx+tanx＞ax，
設(shè)h（x）=sinx+tanx-ax，則${h^'}（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，$0＜x＜\frac{π}{2}$，
令 t=cosx，由 $0＜x＜\frac{π}{2}$，得0＜t＜1，
設(shè)$t+\frac{1}{t^2}=k（t）$${k^'}（t）=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}＜0$，
∴k（t）在（0，1）上是減函數(shù)，∴k（t）＞k（1）=2，
當(dāng)a≤2時(shí)，h′（x）≥0，∴h（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是增函數(shù)，∴h（x）＞h（0）=0成立，
當(dāng)a＞2時(shí)$t+\frac{1}{t^2}=a$在（0，1）僅有一根，設(shè)根為t₀，設(shè)cosx=t₀，$0＜x＜\frac{π}{2}$，
存在唯一m有cosm=t₀，
當(dāng)x∈（0，m）時(shí)，${t_0}＜cosx＜1⇒{h^'}（x）＜0$，
∴h（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（0）=0，
這與條件矛盾，所以a＞2時(shí)不成立
綜上得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．