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【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且拋物線的準線被橢圓截得的弦長為1，是直線上一點，過點且與垂直的直線交橢圓于兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線的斜率分別為，求證：成等差數列.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據弦長和焦點關系求解方程；

（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結合韋達定理分別計算和的關系即可得證.

解：

（1）拋物線的焦點為，準線方程為.

又拋物線的準線被橢圓截得的弦長為1，所以點在橢圓上.

由，解得，.故橢圓的標準方程為

（2）當直線的斜率不存在時，其方程為，代入橢圓方程得兩點坐標為、，此時，.

∴成等差數列.

當直線的斜率存在時，設，直線的方程為，由得

∴，

直線方程為，則，，，.

，.

∴、、成等差數列，綜上、、成等差數列.

方法二 設點、、

當時，方程為，此時，，、、成等差數列

當時，的斜率為，方程為，

由得

∴

∴

∴、、成等差數列

綜上、、成等差數列.

練習冊系列答案
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