Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（ωx+φ），2），$\overrightarrow$=（1，cos（ωx+φ）），（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{4}$），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）的圖象過點M（1，$\frac{7}{2}$），且相鄰兩對稱軸之間的距離為2．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）求f（x）在[-$\frac{2}{3}$，2]上的最大值，并求出此時x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量數(shù)量積公式并化簡三角函數(shù)式，得到解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式得到角度范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求最大值．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=sin²（ωx+φ）-cos²（ωx+φ）+3
=3-cos（2ωx+2φ），由相鄰兩對稱軸之間的距離為2．得到周期為4，所以ω=$\frac{π}{4}$，又過（1，$\frac{7}{2}$），
得到sin2φ=$\frac{1}{2}$，因為0＜φ＜$\frac{π}{4}$，所以2φ=$\frac{π}{6}$；
所以f（x）=3-cos（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）因為x∈[-$\frac{2}{3}$，2]，所以$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7}{6}π$]，
所以當(dāng)$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}=π$時即x=$\frac{5}{3}$時函數(shù)取得最大值為3-（-1）=4．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及三角函數(shù)的解析式化簡、三角函數(shù)的性質(zhì)；屬于中檔題．