Question

16．已知a，b∈R，且e^x+1≥ax+b對(duì)?x∈R恒成立（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則ab的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}{e^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{e^3}$
• D． e³

Answer 1

分析 當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)ab=0； 當(dāng)a＞0時(shí)，由題結(jié)合（1）得ab≤2a²-a²lna，設(shè)（a）=2a²-a²lna（a＞0），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g（a）的最大值，利用導(dǎo)函數(shù)即可

解答 解：設(shè)f（x）=e^x+1-ax
當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)ab=0； 
當(dāng)a＞0時(shí)，e^x+1≥ax+b對(duì)?x∈R恒成立，得b≤f_min（x），
∵f_min（x）=f（-1+lna）=2a-alna，
∴b≤2a-alna，
∴ab≤2a²-a²lna，
設(shè)g（a）=2a²-a²lna（a＞0），
∴g′（a）=4a-（2alna+a）=3a-2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得lna=$\frac{3}{2}$，從而a=${e}^{\frac{3}{2}}$，
當(dāng)a∈（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）時(shí)，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增；
當(dāng)a∈（${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞）時(shí)，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減．
∴g_max（a）=$\frac{{e}^{3}}{2}$，即a=${e}^{\frac{3}{2}}$，b=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，ab的最大值為$\frac{{e}^{3}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．