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19.已知線段AB的兩端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),|AB|=3,動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=13AB;
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)已知點(diǎn)N(3,0),試探究是否存在直線l:x=my-3與軌跡C交于D、E兩點(diǎn),且使得△DEN的內(nèi)切圓的面積為\frac{3π}{16}?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)P(x,y),A(x1,0),B(0,y1),由\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}把A、B的坐標(biāo)用P的坐標(biāo)表示,結(jié)合|AB|=3,求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)假設(shè)存在直線l滿足條件,由直線l過(guò)點(diǎn)M(-\sqrt{3},0),而點(diǎn)M,N是橢圓C:\frac{x^2}{4}+{y^2}=1的左右焦點(diǎn),由橢圓的定義得△DEN的周長(zhǎng)為8,再由△DEN的內(nèi)切圓的面積為\frac{3π}{16},得△DEN的內(nèi)切圓的半徑,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式解得m=0或m=±2\sqrt{2}.說(shuō)明存在直線l.

解答 解:(1)設(shè)P(x,y),A(x1,0),B(0,y1),
\overrightarrow{AP}=(x-{x_1},y),\overrightarrow{AB}=(-{x_1},{y_1})-------(2分)
\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},有\left\{\begin{array}{l}x-{x_1}=-\frac{1}{3}{x_1}\\ y=\frac{1}{3}{y_1}\end{array}\right.,得\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{3}{2}x\\{y_1}=3y\end{array}\right.,--------------(4分)
由|AB|=3,得x_1^2+y_1^2=9,--------------(5分)
{(\frac{3}{2}x)^2}+{(3y)^2}=9,即\frac{x^2}{4}+{y^2}=1,
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為\frac{x^2}{4}+{y^2}=1;--------------(6分)
(2)假設(shè)存在直線l滿足條件,∵直線l:x=my-\sqrt{3}過(guò)點(diǎn)M(-\sqrt{3},0),
而點(diǎn)M,N是橢圓C:\frac{x^2}{4}+{y^2}=1的左右焦點(diǎn),
∴由橢圓的定義得,△DEN的周長(zhǎng)為8,-------------(7分)
由△DEN的內(nèi)切圓的面積為\frac{3π}{16},得△DEN的內(nèi)切圓的半徑為\frac{{\sqrt{3}}}{4};
設(shè)點(diǎn)D(x1,y1),E(x2,y2),則△DEN的面積為\frac{1}{2}×|MN|×|{y_1}-{y_2}|=\frac{1}{2}×8×\frac{{\sqrt{3}}}{4};
∴|y1-y2|=1;-------------(9分)
\left\{\begin{array}{l}x=my-\sqrt{3}\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.,消去x并整理得({m^2}+4){y^2}-2\sqrt{3}my-1=0
|{y_1}-{y_2}|=\frac{{\sqrt{△}}}{a}=\frac{{\sqrt{16{m^2}+16}}}{{{m^2}+4}}=1,-------------(11分)
解得m=0或m=±2\sqrt{2}
故存在直線l,且m的值為0,-2\sqrt{2}2\sqrt{2}.-------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用代入法求曲線的方程,考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題.

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