【題目】在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中,點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn),滿足,將沿直線折到的位置. 在翻折過程中,下列結(jié)論成立的是(

A.在邊上存在點(diǎn),使得在翻折過程中,滿足平面

B.存在,使得在翻折過程中的某個(gè)位置,滿足平面平面

C.,當(dāng)二面角為直二面角時(shí),

D.在翻折過程中,四棱錐體積的最大值記為,的最大值為

【答案】D

【解析】

利用反證法可證明A、B錯(cuò)誤,當(dāng)且二面角為直二面角時(shí),計(jì)算可得,從而C錯(cuò)誤,利用體積的計(jì)算公式及放縮法可得,從而可求的最大值為,因此D正確.

對(duì)于A,假設(shè)存在,使得平面,

如圖1所示,

因?yàn)?/span>平面,平面平面,故,

但在平面內(nèi),是相交的,

故假設(shè)錯(cuò)誤,即不存在,使得平面,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖2,

的中點(diǎn)分別為,連接,

因?yàn)?/span>為等邊三角形,故

因?yàn)?/span>,故

所以均為等邊三角形,故,,

因?yàn)?/span>,,,故共線,

所以,因?yàn)?/span>,故平面,

平面,故平面平面,

若某個(gè)位置,滿足平面平面,則在平面的射影在上,也在上,故在平面的射影為,所以,

此時(shí),這與矛盾,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,如圖3(仍取的中點(diǎn)分別為,連接

因?yàn)?/span>,所以為二面角的平面角,

因?yàn)槎娼?/span>為直二面角,故,所以,

,故平面,因平面,故.

因?yàn)?/span>,所以.

中,,

中,,故C錯(cuò).

對(duì)于D,如圖4(仍取的中點(diǎn)分別為,連接),

在底面上的射影,則上.

因?yàn)?/span>,所以,所以.

,

,則,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以為增函數(shù),在為減函數(shù),故.

故D正確.

故選:D.

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