Question

7．某工廠經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，甲產(chǎn)品的日銷售量P（單位：噸）與銷售價(jià)格x（單位：萬元/噸）滿足關(guān)系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+17，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數(shù)），已知銷售價(jià)格為4萬元/噸時(shí)，每天可售出該產(chǎn)品9噸．
（1）求a的值；
（2）若該產(chǎn)品的成本價(jià)格為3萬元/噸，當(dāng)銷售價(jià)格為多少時(shí)，該產(chǎn)品每天的利潤(rùn)最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由銷售價(jià)格為4萬元/噸時(shí)，每日可銷售出該商品9噸，建立方程，即可得到a的值；
（2）商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤(rùn)，可得日銷售量的利潤(rùn)函數(shù)為關(guān)于x的函數(shù)，再用二次函數(shù)求得最值，從而得出最大值對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（1）由題意，x=4，P=9，
由P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+17，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數(shù)），可得17-4a=9，∴a=2
（2）由（1）可得P=$\left\{\begin{array}{l}{17-2x，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$
設(shè)商品所獲得的利潤(rùn)為y=（x-3）P=$\left\{\begin{array}{l}{（17-2x）（x-3），3＜x6}\\{（\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}）（x-3），6＜x≤9}\end{array}\right.$
當(dāng)3＜x≤6時(shí)，y=（17-2x）（x-3），當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，取得最大值15；
當(dāng)6＜x≤9時(shí)，y=（x-3）（$\frac{84}{{x}^{2}}$+$\frac{7}{x}$）=-252$（\frac{1}{x}-\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{175}{16}$，
當(dāng)x=8時(shí)，取得最大值$\frac{175}{16}$＜15．
綜上可得x=6時(shí)，取得最大值15，即當(dāng)銷售價(jià)格為6萬元/噸時(shí)，該產(chǎn)品每天的利潤(rùn)最大且為15萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式和配方結(jié)合二次函數(shù)的最值求得，屬于中檔題．