Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)，且f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），則f（x）的最小正周期為  （　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． 2π
• C． 4π
• D． π

Answer 1

分析 由題意求得x=$\frac{7π}{12}$，為f（x）=sin（ωx+φ）的一條對(duì)稱軸，（$\frac{π}{3}$，0）為f（x）=sin（ωx+φ）的一個(gè)對(duì)稱中心，根據(jù)$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，解得ω的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)，
∴$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{ω}$，即$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{ω}$，∴0＜ω≤3．
∵f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），
∴x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$，為f（x）=sin（ωx+φ）的一條對(duì)稱軸，
且（$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{2}}{2}$，0）即（$\frac{π}{3}$，0）為f（x）=sin（ωx+φ）的一個(gè)對(duì)稱中心，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，解得ω=2∈（0，3]，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，確定x=$\frac{7π}{12}$與（$\frac{π}{3}$，0）為同一周期里面相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．