Question

12．已知函數(shù)f（x）=（a-bx³）e^x-$\frac{lnx}{x}$，且函數(shù)f（x）的圖象在點（1，e）處的切線與直線x-（2e+1）y-3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在點（1，e）處的切線與直線x-（2e+1）y-3=0垂直，求得a，b；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=2{e^x}-\frac{lnx}{x}-{e^x}{x^3}$，證f（x）＞2，即證2e^x-e^xx³＞2$+\frac{lnx}{x}$，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：因為f（1）=e，故（a-b）e=e，故a-b=1①；
依題意，f′（1）=-2e-1；又${f^'}（x）=a{e^x}-\frac{1-lnx}{x^2}-b（{e^x}{x^3}+3{x^2}{e^x}）$，
故f′（1）=ae-1-4be=-2e-1，故a-4b=-2②，
聯(lián)立①②解得a=2，b=1，…（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得$f（x）=2{e^x}-\frac{lnx}{x}-{e^x}{x^3}$
要證f（x）＞2，即證2e^x-e^xx³＞2$+\frac{lnx}{x}$；    …（7分）
令g（x）=2e^x-e^xx³，∴g′（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x³+3x²-2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
故當(dāng)x∈（0，1）時，-e^x＜0，x+1＞0；
令p（x）=x²+2x-2，因為p（x）的對稱軸為x=-1，且p（0）•p（1）＜0，
故存在x₀∈（0，1），使得p（x₀）=0；
故當(dāng)x∈（0，x₀）時，p（x）=x²+2x-2＜0，g′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＞0，
即g（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₀，1）時，p（x）=x²+2x-2＞0，故g′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＜0，
即g（x）在（x₀，1）上單調(diào)遞減；因為g（0）=2，g（1）=e，
故當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）＞g（0）=2，…（10分）
又當(dāng)x∈（0，1）時，$\frac{lnx}{x}＜0$，∴$2+\frac{lnx}{x}＜2$…（11分）
所以2e^x-e^xx³＞2$+\frac{lnx}{x}$，即f（x）＞2…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．