Question

4．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過點$（{2，\sqrt{3}}））$，直線l₁：y=kx+m（m＞0）與圓C₂：（x-1）²+y²=1相切且與橢圓C₁交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）過原點O作l₁的平行線l₂交橢圓于C，D兩點，設(shè)|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線l₁的方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求得AB的長度，聯(lián)立直線l₂的方程與橢圓方程，求出CD的長度，結(jié)合|AB|=λ|CD|利用換元法求解λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{4}=1}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=2，
故${C_1}：\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
化簡得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-4）=0，
△＞0恒成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-4）}}{{1+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，得$|{x_1}-{x_2}|=\frac{{4\sqrt{16{k^2}-{m^2}+4}}}{{1+4{k^2}}}$，
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{16{k^2}-{m^2}+4}}}{{1+4{k^2}}}$，
把l₂：y=kx代入${C_1}：\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，得${x^2}=\frac{16}{{1+4{k^2}}}$，
∴$|CD|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}$，
∴$λ=\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{{\sqrt{16{k^2}-{m^2}+4}}}{{2\sqrt{1+4{k^2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{m^2}{{1+4{k^2}}}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{m^2}{{1+4{{（\frac{{1-{m^2}}}{2m}）}^2}}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{m^4}{{{m^4}-{m^2}+1}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{1}{{{{（\frac{1}{m^2}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{3}{4}}}}≥\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
當$m=\sqrt{2}，k=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，λ取最小值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用換元法求最值，是中檔題．