Question

4．過(guò)點(diǎn)A（6，4）作曲線f（x）=2$\sqrt{x-2}$的切線l，則切線l與x軸及曲線f（x）=2$\sqrt{x-2}$所圍成的封閉圖形的面積S=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 求在點(diǎn)（6，4）處的切線方程，欲求封閉圖形的面積，利用定積分的幾何意義求面積，只須求出積分的上下限即可，故先利用令f（x）=2$\sqrt{x-2}$=0，則x=2．令y=$\frac{1}{2}x+1$=0，則x=-2，再結(jié)合圖象特征即得，最后定積分公式計(jì)算即得．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{2}{\sqrt{4x-8}}$，∴f′）6）=$\frac{1}{2}$，
∴切線l的方程為：y-4=$\frac{1}{2}$（x-6），即y=$\frac{1}{2}x+1$
（2）令f（x）=2$\sqrt{x-2}$=0，則x=2．
令y=$\frac{1}{2}x+1$=0，則x=-2．
∴S=${∫}_{-2}^{6}$（$\frac{1}{2}x+1$）dx-${∫}_{2}^{6}$（2$\sqrt{x-2}$）dx=$（\frac{1}{4}{x}^{2}+x）{|}_{-2}^{6}-\frac{1}{6}（4x-8）^{\frac{3}{2}}{|}_{2}^{6}$=9+6-（1-2）-$\frac{1}{6}×1{6}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、定積分的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．