精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(1,),且離心率e=.

(1)求橢圓方程；

(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(,0),求k的取值范圍.

解:(1)由題意橢圓的離心率e=.∴=.∴a=2c.∴b2=a2-c2=3c2.

∴橢圓方程為=1.

又點(1,)在橢圓上,∴+=1.∴c2=1.∴橢圓的方程為+=1.

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點,Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)＞0,即m2＜4k2+3.

又x1+x2=,∴MN中點P的坐標為(,).

設MN的垂直平分線l′方程:y=(x),∵P在l′上,∴=(),

即4k2+8km+3=0.∴m=(4k2+3).

將上式代入得＜4k2+3,∴k2＞,即k＞或k＜.

∴k的取值范圍為(-∞,)∪(,+∞).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C:=1(a＞b＞0),直線l1:=1被橢圓C截得的弦長為2，過橢圓C的右焦點且斜率為3的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓C的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2013-2014學年人教版高考數學文科二輪專題復習提分訓練24練習卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為(　　)

(A) +=1 (B) +=1

(C) +=1 (D) +=1

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2013-2014學年人教版高考數學文科二輪專題復習提分訓練22練習卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F1,F2,上頂點A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長為6.

(1)求橢圓C的標準方程及離心率;

(2)O為坐標原點,P是直線F1A上的一個動點,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時點P的坐標.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2013-2014學年人教版高考數學文科二輪專題復習提分訓練22練習卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)求·的取值范圍;

(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2013-2014學年人教版高考數學文科二輪專題復習提分訓練22練習卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點.過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2),連接AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D.點G是點D關于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案