Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，證明：
（I）當(dāng)x＜0時，f（x）＜1；
（II）對任意a＞0，當(dāng)0＜|x|＜ln（1+a）時，|f（x）-1|＜a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式等價于xf（x）-x＞0，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可證明，
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜ln（1+a）時，f（x）-1＜a，等價于e^x-1-（a+1）x＜0，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可證明，同理可證-ln（1+a）＜x＜0，問題得以證明

解答 解：（Ⅰ）∵當(dāng)x＜0時，f（x）＜1，等價于xf（x）＞x，即xf（x）-x＞0，
設(shè)g（x）=xf（x）-x=e^x-1-x
∴g′（x）=e^x-1＜0，在（-∞，0）上恒成立，
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＞g（0）=1-1-0=0，
∴xf（x）-x＞0恒成立，
∴x＜0時，f（x）＜1，
（Ⅱ）要證明當(dāng)0＜|x|＜ln（1+a）時，|f（x）-1|＜a，
即證0＜x＜ln（1+a）時，f（x）-1＜a，
即證$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜a+1，
即證e^x-1＜（a+1）x
即證e^x-1-（a+1）x＜0，
令h（x）=e^x-1-（a+1）x，
∴h′（x）=e^x-（a+1）＜e^ln（a+1）-（a+1）=0，
∴h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，
同理可證當(dāng)x＜0時，結(jié)論成立
∴對任意a＞0，當(dāng)0＜|x|＜ln（1+a）時，|f（x）-1|＜a

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．