Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若在雙曲線上存在點(diǎn)P使△OPF₂是以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，又|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2{c}^{2}-^{2}}$，其中c為雙曲線的半焦距，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 由題意，PF₁⊥PF₂，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m-n=2a，m+n=2$\sqrt{2{c}^{2}-^{2}}$，m²+n²=4c²，可得（a+$\sqrt{2{c}^{2}-^{2}}$）²+（$\sqrt{2{c}^{2}-^{2}}$-a）²=4c²，求出a=b，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，PF₁⊥PF₂，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m-n=2a，m+n=2$\sqrt{2{c}^{2}-^{2}}$，m²+n²=4c²，
∴（a+$\sqrt{2{c}^{2}-^{2}}$）²+（$\sqrt{2{c}^{2}-^{2}}$-a）²=4c²，
∴a=b，
∴e=$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．