【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,側(cè)棱底面,為棱的中點,

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】

由線面垂直的性質(zhì)可得,由正方形的性質(zhì)可得 ,由線面垂直的判定定理可得平面,從而可得結(jié)果;(正方形,側(cè)棱底面,為軸建立坐標系,求出,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;(由(Ⅰ)知平面, 為平面的法向量,結(jié)合,由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

(Ⅰ)因為底面底面 ,

所以,正方形中, ,

又因為, 所以平面

因為平面,所以

(Ⅱ)正方形,側(cè)棱底面.

如圖建立空間直角坐標系,不妨設(shè).

依題意,則,所以 .

設(shè)平面的法向量

因為,所以,

,得 ,即

所以,

所以直線與平面所成角的正弦值為

(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,所以 為平面的法向量,

因為, 且二面角為銳角,

所以二面角的余弦值為

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打卡天數(shù)

17

18

19

20

21

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3

5

3

7

2

女生人數(shù)

3

5

5

7

3

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