Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（其中a＞1，b＞1），x=0是f（x）的一個零點，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，則a+b的最小值為6．

Answer 1

分析 由題意可得f（0）=0，即c=0，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得3+ab=2（a+b），運用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（其中a＞1，b＞1），x=0是f（x）的一個零點，
可得f（0）=0，即-abc=0，可得c=0，
即f（x）=x（x-a）（x-b）=x³-（a+b）x²+abx，
f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
可得3-2（a+b）+ab=0，
即3+ab=2（a+b），
由a＞1，b＞1，可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號，
即有2（a+b）≤3+（$\frac{a+b}{2}$）²，
解得a+b≥6或a+b≤2（舍去），
則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時，取得最小值6．
故答案為：6．

點評 本題考查函數(shù)的零點的概念的運用和導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查基本不等式的運用：求最值，以及運算能力，屬于中檔題．