Question

14．用數學歸納法證明：1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N₊）

Answer 1

分析 首先證明當n=1時等式成立，再假設n=k時等式成立，得到等式1+3+5+…+（2k-1）=k²，下面證明當n=k+1時等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1），根據前面的假設化簡即可得到結果，最后得到結論．

解答 證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
（2）假設n=k時等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
當n=k+1時，等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
綜上（1）（2）可知1+3+5+…+（2n-1）=n²對于任意的正整數成立．

點評 本題考查用數學歸納法證明等式成立，用數學歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．本題解題的關鍵是利用第二步假設中結論證明當n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．