16.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x-1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥2的解集;
(Ⅱ)若?x∈R,不等式f(x)≥a|x|恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)分類討論,利用絕對(duì)值的幾何意義求不等式f(x)≥2的解集;
(Ⅱ)若?x∈R,不等式f(x)≥a|x|恒成立,分類討論,分離參數(shù),即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)不等式f(x)≥2可化為|x-1|+|2x-1|≥2,
x<$\frac{1}{2}$,不等式化為1-x+1-2x≥2,∴x≤0,∴x≤0;
$\frac{1}{2}≤x≤1$,不等式化為1-x+2x-1≥2,∴x≥2,不成立;
x>1,不等式化為x-1+2x-1≥2,∴x≥$\frac{4}{3}$,∴x≥$\frac{4}{3}$;
綜上所述,不等式f(x)≥2的解集為{x|x≤0或$x≥\left.{\frac{4}{3}}\right\}$.-------------(6分)
(2)當(dāng)x=0時(shí),f(x)=2,a|x|=0,原式恒成立;
當(dāng)x≠0時(shí),原式等價(jià)轉(zhuǎn)換為$|{1-\frac{1}{x}}|+|{2-\frac{1}{x}}|≥a$恒成立,即$a≤|{1-\frac{1}{x}}|+{|{2-\frac{1}{x}}|_{min}}$.
∵$|{1-\frac{1}{x}}|+|{2-\frac{1}{x}}|≥|{({1-\frac{1}{x}})-({2-\frac{1}{x}})}|=1$,當(dāng)且僅當(dāng)$({1-\frac{1}{x}})({2-\frac{1}{x}})≤0$即$\frac{1}{2}≤x≤1$時(shí)取等,
∴a≤1.-------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$
(1)若函數(shù)在區(qū)間(a,a+$\frac{1}{2}$)(其中a>0)上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),求證:不等式f(x)>$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積與體積比為( 。
A.$3\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.2$\sqrt{2}$+1D.$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策.為了解適齡民眾對(duì)放開生育二胎政策的態(tài)度,某市選取70后80后作為調(diào)查對(duì)象,隨機(jī)調(diào)查了100位,得到數(shù)據(jù)如表:
生二胎不生二胎合計(jì)
70后301545
80后451055
合計(jì)7525100
(1)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),判斷是否有90%以上把握認(rèn)為“生二胎與年齡有關(guān)”,并說明理由:
參考數(shù)據(jù):
P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.005
k2.7022.7063.8415.0246.6357.879
(參考公式:K2=$\frac{{n{{({ac-bd})}^2}}}{{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}}$,其中n=a+b+c+d)
(2)以這100人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù),且以頻率估計(jì)概率,若從該市70后公民中(人數(shù)很多)隨機(jī)抽取3位,記其中生二胎的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)之間的關(guān)系,隨機(jī)抽取高二年級(jí)20名學(xué)生某次考試成績(jī)(百分制)如表所示:
 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13  14 1516  17 1819 20 
 數(shù)學(xué)成績(jī) 9575  80 94 92 65 67 84 98 7167 93  64 78 77 90 57 83 7283 
 物理成績(jī) 90 63 7287  91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 6184  7886 
若數(shù)學(xué)成績(jī)90分(含90分)以上為優(yōu)秀,物理成績(jī)85(含85分)以上為優(yōu)秀.有多少把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)生成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系( 。
參考數(shù)據(jù)公式:①獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表
 P(K2≥k0 0.50 0.40 0.25 015. 0.10 0.05 0.0250.010 0.005  0001
 k0 0.4550.708  1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6356. 7.879 10.828
②獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的值的計(jì)算公式:${K^2}=\frac{{n{{({ad-bc})}^2}}}{{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}}$.
A.99.9%B.99.5%C.97.5%D.95%

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知拋物線C:x2=2py(p>0),過其焦點(diǎn)作斜率為1的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn),且|MN|=16.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)已知?jiǎng)訄AP的圓心在拋物線C上,且過定點(diǎn)D(0,4),若動(dòng)圓P與x軸交于A、B兩點(diǎn),求$\frac{|DA|}{|DB|}$+$\frac{|DB|}{|DA|}$的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于M,過點(diǎn)M作⊙C:(x-2)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過拋物線E上一點(diǎn)N作⊙C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P,Q,若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$,求點(diǎn)N的坐標(biāo)及|PQ|長(zhǎng)度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知A,B是圓O:x2+y2=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P是線段A,B上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積最大時(shí),$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$的最大值為$\frac{1}{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4x=0所截得的弦長(zhǎng)為( 。
A.$\sqrt{3}$B.2C.$\sqrt{6}$D.$2\sqrt{3}$

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