4.已知A,B是圓O:x2+y2=4上的兩個動點,P是線段A,B上的動點,當△AOB的面積最大時,$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$的最大值為$\frac{1}{2}$.

分析 由題意知當∠AOB=$\frac{π}{2}$時,S取最大值2,此時OA⊥OB建立坐標系可得A、B、P的坐標,可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$為關(guān)于x的二次函數(shù),由二次函數(shù)的最值可得.

解答 解:由題意知:△AOB的面積S=$\frac{1}{2}|OA||OB|$sin∠AOB
=$\frac{1}{2}$×2×2×sin∠AOB=2sin∠AOB,
當∠AOB=$\frac{π}{2}$時,S取最大值2,此時OA⊥OB,
如圖所示,不妨取A(2,0),B(0,2),設(shè)P(x,2-x)
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PO}$
=(x-2,2-x)•(-x,x-2)
=-x(x-2)+(2-x)(x-2)
=(x-2)(2-2x)=-2x2+6x-1,x∈[0,2]
當x=$\frac{3}{2}$時,上式取最大值$\frac{1}{2}$.
故答案為:$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的運算,涉及三角形的面積公式和二次函數(shù)的最值,屬中檔題.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

17.在平面直角坐標系xOy中,直線l:$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}(t為參數(shù))}\right.$,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的方程是$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$;
(Ⅰ)若m=0,在曲線C上確定一點M,使得它到直線l的距離最小,并求出最小值;
(Ⅱ)設(shè)P(m,2)且m>1,直線l與曲線C相交于A,B兩點,$\frac{{|{|{PA}|-|{PB}|}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$,求m的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

16.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x-1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥2的解集;
(Ⅱ)若?x∈R,不等式f(x)≥a|x|恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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12.四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2$\sqrt{2}$的正方形,高為1.其外接球半徑為2$\sqrt{2}$,則正方形ABCD的中心與點P之間的距離為( 。
A.$\sqrt{2}$B.2$\sqrt{2}$C.$\sqrt{2}$或1D.2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$

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19.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(2,0),直線l:x+y-5=0,點B(x,y)是圓C:x2+2x+y2-1=0上的動點,AD⊥l,BE⊥l,垂足分別為D,E,則線段DE的最大值是( 。
A.$\sqrt{2}$B.$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$C.$2\sqrt{2}$D.$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

9.如圖,在直三棱柱ADF-BCE中,AB=BC=BE=2,CE=$2\sqrt{2}$.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)若EB=4EK,求直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

16.已知直線2x+(y-3)m-4=0(m∈R)恒過定點P,若點P平分圓x2+y2-2x-4y-4=0的弦MN,則弦MN所在的直線方程是x+y-5=0.

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13.已知點O是三角形ABC的邊BC靠近B的一個三等分點,過點O的直線交直線AB、AC分別于M、N;$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$,則$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=3.

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科目:高中數(shù)學 來源:2016-2017學年安徽六安一中高一上國慶作業(yè)二數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上為增函數(shù)的是( )

A. B.

C. D.

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