8.已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于M,過點(diǎn)M作⊙C:(x-2)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過拋物線E上一點(diǎn)N作⊙C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P,Q,若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$,求點(diǎn)N的坐標(biāo)及|PQ|長(zhǎng)度.

分析 (1)設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)R,求出|AR|,|CR|,即可求拋物線E的方程;
(2)求出圓D,C的方程,兩圓相減,可得直線PQ的方程,利用直線PQ經(jīng)過點(diǎn)O,即可求點(diǎn)N的坐標(biāo)及|PQ|長(zhǎng)度.

解答 解:(1)由已知得M(-$\frac{p}{2}$,0),C(2,0).
設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)R,
由圓的對(duì)稱性可知,|AR|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
于是|CR|=$\frac{1}{3}$
所以|CM|=$\frac{|AC|}{sin∠AMC}$=$\frac{|AC|}{sin∠CAR}$=3,
即2+$\frac{p}{2}$=3,p=2.
故拋物線E的方程為y2=4x.
(2)設(shè)N(s,t).
P,Q是NC為直徑的圓D與圓C的兩交點(diǎn).
圓D方程為(x-$\frac{s+2}{2}$)2+(y-$\frac{t}{2}$)2=$\frac{(s-2)^{2}+{t}^{2}}{4}$,
即x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0.①
又圓C方程為x2+y2-4x+3=0.②
②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0.③
P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程①和②的解,也是方程③的解,從而③為直線PQ的方程.
因?yàn)橹本PQ經(jīng)過點(diǎn)O,所以3-2s=0,s=$\frac{3}{2}$.
故點(diǎn)N坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,$±\sqrt{6}$),
PQ的方程為-$\frac{1}{2}$x$±\sqrt{6}$y=0,|PQ|=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程,考查圓的方程,考查兩圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,求得PQ的方程是關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)證明:DG∥平面A1EF;
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