Question

17．某早餐店每天制作甲、乙兩種口味的糕點(diǎn)共n（n∈N^*）份，每份糕點(diǎn)的成本1元，售價(jià)2元，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的糕點(diǎn)作廢品處理，該早餐店發(fā)現(xiàn)這兩種糕點(diǎn)每天都有剩余，為此整理了過(guò)往100天這兩種糕點(diǎn)的日銷(xiāo)量（單位：份），得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

甲口味糕點(diǎn)日銷(xiāo)量	48	49	50	51
天數(shù)	20	40	20	20

乙口味糕點(diǎn)日銷(xiāo)量	48	49	50	51
天數(shù)	40	30	20	10

以這100天記錄的各銷(xiāo)量的頻率作為各銷(xiāo)量的概率，假設(shè)這兩種糕點(diǎn)的日銷(xiāo)量相互獨(dú)立．
（1）記該店這兩種糕點(diǎn)每日的總銷(xiāo)量為X份，求X的分布列；
（2）早餐店為了減少浪費(fèi)，提升利潤(rùn)，決定調(diào)整每天制作糕點(diǎn)的份數(shù)．
①若產(chǎn)生浪費(fèi)的概率不超過(guò)0.6，求n的最大值；
②以銷(xiāo)售這兩種糕點(diǎn)的日總利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，在每天所制糕點(diǎn)能全部賣(mài)完與n=98之中選其一，應(yīng)選哪個(gè)？

Answer 1

分析 （1）由題意知X的可能取值為96，97，98，99，100，101，102，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
（2）①求出P（X=96）+P（X=97）=0.3，P（X=96）+P（X=97）+P（X=99）=0.54，由此能求出n的最大值．
②由（1）知在每天所制糕點(diǎn)能全部賣(mài)完時(shí)，n=96，此時(shí)銷(xiāo)售這兩種糕點(diǎn)的日總利潤(rùn)的期望值為96．再求出當(dāng)n=98時(shí)，銷(xiāo)售這兩種糕點(diǎn)的日總利潤(rùn)的期望值，由此得到應(yīng)選n=98．

解答 解：（1）由題意知X的可能取值為96，97，98，99，100，101，102，
P（X=96）=0.2×0.4=0.08，
P（X=97）=0.2×0.3+0.4×0.4=0.22，
P（X=98）=0.4×0.3+0.2×0.2+0.2×0.4=0.24，
P（X=99）=0.2×0.1+0.4×0.2+0.4×0.2+0.2×0.3=0.24，
P（X=100）=0.4×0.1+0.3×0.2+0.2×0.2=0.14，
P（X=101）=0.2×0.1+0.2×0.2=0.06，
P（X=102）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列為：

X	96	97	98	99	100	101	102
P	0.08	0.22	0.24	0.24	0.14	0.06	0.02

（2）①∵產(chǎn)生浪費(fèi)的概率不超過(guò)0.6，
P（X=96）+P（X=97）=0.08+0.22=0.3，
P（X=96）+P（X=97）+P（X=99）=0.08+0.22+0.24=0.54，
∴n的最大值為98．
②由（1）知在每天所制糕點(diǎn)能全部賣(mài)完時(shí)，n=96，
此時(shí)銷(xiāo)售這兩種糕點(diǎn)的日總利潤(rùn)的期望值為96．
當(dāng)n=98時(shí)，銷(xiāo)售這兩種糕點(diǎn)的日總利潤(rùn)的期望值為：98+（-2×0.08）+（-1×0.22）=97.62．
∴應(yīng)選n=98．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題．