Question

6．下列命題中正確的有（2）（3）（5）．
（1）常數(shù)數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列；
（2）在△ABC中，若sin²A+sin²B=sin²C，則△ABC為直角三角形；
（3）若A，B為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則tanAtanB＞1；
（4）若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則此數(shù)列的通項a_n=S_n-S_n-1（n＞1）．
（5）等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₂=3，S₆=63，則S₄=15．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的定義可判斷（1）；根據(jù)正弦定理可判斷（2）；根據(jù)誘導公式及三角函數(shù)的單調(diào)性，可判斷（3）；根據(jù)數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，可判斷（4）；根據(jù)已知求出S₄，可判斷（5）．

解答 解：（1）非零常數(shù)數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，故錯誤；
（2）在△ABC中，若sin²A+sin²B=sin²C，則a²+b²=c²，則△ABC為直角三角形，故正確；
（3）若A，B為銳角三角形的兩個內(nèi)角，
銳角三角形，所以A+B＞$\frac{π}{2}$即：$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，
所以sinA＞cosB，
同理sinB＞cosA，所以tanAtanB=$\frac{sinAsinB}{cosAcosB}$＞1，正確；
（4）若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則此數(shù)列的通項a_n=S_n-S_n-1（n＞1），a₁=S₁，（n=1），故錯誤．
（5）等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₂=3，S₆=63，
則公比q≠1，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}=3\\ \frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=63\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=1\\ q=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=-3\\ q=-2\end{array}\right.$
則S₄=15，故正確；
故答案為：（2）（3）（5）．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了等差（比）數(shù)列的定義，數(shù)列的和及通項公式，正弦定理等知識點，難度中檔．