Question

3．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=2，AA₁=h，E為BB₁的中點．
（1）若h=2，請畫出該正三棱柱的正（主）視圖與左（側(cè)）視圖．
（2）求證：平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（3）當(dāng)平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成的銳二面角為45°時，求該正三棱柱外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）計算底面三角形的高，得出左視圖的邊長，再畫出三視圖即可；
（2）連接AC₁交A₁C于F，取A₁C₁的中點M，連接EF，F(xiàn)M，MB₁，通過證明MB₁⊥平面AA₁C₁C，MB₁∥EF得出EF⊥平面AA₁C₁C，從而有平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（3）建立坐標(biāo)系，利用向量法求出h，得出外接球的球心坐標(biāo)，再計算球的半徑得出球的體積．

解答 解：（1）∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴△ABC的高為$\sqrt{3}$，
又h=2，∴正視圖為邊長為2的正方形，左視圖為邊長為2和$\sqrt{3}$的矩形，
作出正（主）視圖與左（側(cè)）視圖如下：

（2）連接AC₁交A₁C于F，取A₁C₁的中點M，連接EF，F(xiàn)M，MB₁，
∵四邊形ACC₁A₁是矩形，∴F是AC₁的中點，
又M是A₁C₁的中點，∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA₁，
∵E是BB₁的中點，AA₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$EB₁，∴四邊形EFMB₁是平行四邊形，
∴EF∥MB₁，
∵△A₁B₁C₁是正三角形，∴MB₁⊥A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，MB₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥MB₁，又AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴MB₁⊥平面ACC₁A₁，又MB₁∥EF，
∴EF⊥平面ACC₁A₁，又EF?平面A₁EC，
∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（3）以M為原點，以MC₁，MB₁，MF所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz，如圖所示：
則A₁（-1，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，$\frac{h}{2}$），C（1，0，h），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，$\sqrt{3}$，$\frac{h}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2，0，h），
設(shè)平面A₁EC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y+\frac{1}{2}hz=0}\\{2x+hz=0}\end{array}\right.$，
令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{h}{2}$，0，1），
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）是平面A₁B₁C₁的一個法向量，
∵平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成的銳二面角為45°，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{{h}^{2}}{4}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴h=2，
∴設(shè)△A₁B₁C₁的中心為N，則N（0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），
∴正三棱柱外接球的球心為P（0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1），
∴外接球的半徑r=PA₁=$\sqrt{1+\frac{2}{9}+1}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{160π\(zhòng)sqrt{5}}{81}$．

點評 本題考查了棱柱的三視圖，面面垂直的判定定理，棱柱與外接球的位置關(guān)系，屬于中檔題．