Question

3．在銳角△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c且$bcosC=\sqrt{2}acosB-ccosB$，
（1）求角B大小
（2）設A=θ，求函數$f（θ）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+θ）-\sqrt{3}cos2θ-2$的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知的式子，由兩角和的正弦公式、誘導公式化簡后求出cosB的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出B；
（2）由（1）和內角和定理求出C，根據△ABC是銳角三角形列出不等式求出θ的范圍，由二倍角公式及變形、兩角差的正弦公式化簡后，由正弦函數的性質求出函數的值域．

解答 解：（1）∵$bcosC=\sqrt{2}acosB-ccosB$，
∴由正弦定理得，sinBcosC=$\sqrt{2}$sinAcosB-sinCcosB，
則$sin（B+C）=\sqrt{2}sinAcosB$，
又sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）得，C=π-A-B=$\frac{3π}{4}-θ$，
∵△ABC是銳角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{3π}{4}-θ＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}$，
∵$f（θ）=2si{n}^{2}（\frac{π}{4}+θ）-\sqrt{3}cos2θ-2$
=$1-cos（\frac{π}{2}+2θ）-\sqrt{3}cos2θ-2$=$sin2θ-\sqrt{3}cos2θ-1$
=$2sin（2θ-\frac{π}{3}）-1$，
由$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{6}＜2θ-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（2θ-\frac{π}{3}）≤1$，則$0＜2sin（2θ-\frac{π}{3}）-1≤1$，
即函數f（x）的值域是（0，1]．

點評 本題考查了正弦定理，兩角和（差）的正弦公式、誘導公式，三角形的面積公式，以及正弦函數的性質的綜合應用，屬于中檔題．