Question

2．如圖，點P是圓O：x²+y²=4上一點，圓O在點P處的切線為m，PQ垂直x軸于點Q（P、Q不重合），線段PQ的重點為E，點A（-2，0），直線l：x=2與直線m交于點M．
（1）若點P（1，$\sqrt{3}$），求直線m的方程；
（2）當P在圓O上運動時，證明A，E，M三點共線．

Answer 1

分析 （1）若點P（1，$\sqrt{3}$），求出切線斜率，即可求直線m的方程；
（2）當P在圓O上運動時，證明k_AE=k_AM，即可證明A，E，M三點共線．

解答 （1）解：∵點P（1，$\sqrt{3}$），
∴k_OP=$\sqrt{3}$，∴k_m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線m的方程為y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x+$\sqrt{3}$y-4=0；
（2）證明：設P（m，n），則直線m的方程為mx+ny-4=0，x=2，M（2，$\frac{4-2m}{n}$）．
又E（m，$\frac{n}{2}$），∴k_AE=$\frac{\frac{n}{2}}{m+2}$=$\frac{n}{2m+4}$，k_AM=$\frac{\frac{4-2m}{n}}{4}$=$\frac{2-m}{2n}$，
∵m²+n²=4，∴k_AE=k_AM，
∴A，E，M三點共線．

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．