Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}$，{a_n}為等比數(shù)列，a_n＞0且a₁₀₀₉=1，則f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₂₀₁₇）=（　�。�

• A． 2007
• B． $\frac{1}{1009}$
• C． 1
• D． $\frac{2017}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的性質得和f（x）+f（-x）=1，即可求出答案．

解答 解∵$f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}$，
∴$f（-x）+f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}+\frac{{{e^{-x}}}}{{{e^{-x}}+1}}=1$，
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴${a_1}{a_{2017}}={a_2}{a_{2016}}=…={a_{1008}}{a_{1010}}=a_{1009}^2=1$，
∴設S₂₀₁₇=f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₂₀₁₇）①，
∵S₂₀₁₇=f（lna₂₀₁₇）+f（lna₂₀₁₆）+…+f（lna₁）②，
①+②得2S₂₀₁₇=2017，
∴${S_{2017}}=\frac{2017}{2}$，
故選：D．

點評 考查學生利用等比數(shù)列性質的能力，以及指數(shù)對數(shù)函數(shù)的綜合運用能力．