Question

15．對于數(shù)列{a_n}，定義${H_n}=\frac{{{a_1}+2{a_2}+…+{2^{n-1}}{a_n}}}{n}$為{a_n}的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{a_n}的“優(yōu)值”${H_n}={2^{n+1}}$，記數(shù)列{a_n-kn}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n≤S₅對任意的n∈N⁺恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由題意，a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n•2ⁿ⁺¹，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）•2ⁿ，從而求出a_n=2（n+1），可得數(shù)列{a_n-kn}為等差數(shù)列，從而將S_n≤S₅對任意的n（n∈N^*）恒成立化為a₅≥0，a₆≤0；列出不等式組，從而求解．

解答 解：由題意，${H_n}=\frac{{{a_1}+2{a_2}+…+{2^{n-1}}{a_n}}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
則a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n•2ⁿ⁺¹，
當(dāng)n≥2時，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，
兩式相減可得2^n-1a_n=n•2ⁿ⁺¹-（n-1）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，
則a_n=2（n+1），
當(dāng)n=1時，a₁=4，
上式對a₁也成立，
故a_n=2（n+1），n∈N⁺，
則a_n-kn=（2-k）n+2，
則數(shù)列{a_n-kn}為等差數(shù)列，
故S_n≤S₅對任意的n（n∈N^*）恒成立可化為
a₅≥0，a₆≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{5（2-k）+2≥0}\\{6（2-k）+2≤0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{7}{3}$≤k≤$\frac{12}{5}$，
則實(shí)數(shù)k的最大值為$\frac{12}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．