Question

14．某企業(yè)在科研部門的支持下，啟動減緩氣候變化的技術(shù)攻關(guān)，將采用新工藝，把細顆粒物（PM2.5）轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該企業(yè)處理成本P（x）（億元）與處理量x（萬噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}，0≤x≤10}\\{x+\frac{4}{x}-\frac{33}{20}，x＞10}\end{array}\right.$另外技術(shù)人員培訓(xùn)費為2500萬元，試驗區(qū)基建費為1億元．
（1）當(dāng)0≤x≤10時，若計劃在A國投入的總成本不超過5億元，則該工藝處理量x的取值范圍是多少？
（2）該企業(yè)處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的平均成本最低，最低是多少億元？
附：投入總成本=處理成本+技術(shù)人員培訓(xùn)費+試驗區(qū)基建費，平均成本=$\frac{投入總成本}{處理量}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)0≤x≤10時，Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$，依題意：Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$≤5，即可求出該工藝處理量x的取值范圍；
（2）分類求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)該企業(yè)計劃在A國投入的總成本為Q（x）（億元），
則當(dāng)0≤x≤10時，Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$，
依題意：Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$≤5，
即x²+4x-60≤0，解得-10≤x≤6，
結(jié)合條件0≤x≤10，∴0≤x≤6…（3分）
（2）依題意，該企業(yè)計劃在A國投入的總成本當(dāng)0≤x≤10時，Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$，
當(dāng)x＞10時，Q（x）=x+$\frac{4}{x}$-$\frac{2}{5}$，
則平均處理成本①當(dāng)0≤x≤10時，$\frac{Q（x）}{x}$=$\frac{x}{16}+\frac{5}{4x}$+$\frac{1}{4}$≥$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{16}=\frac{5}{4x}$，
即x=2$\sqrt{5}$時，$\frac{Q（x）}{x}$的最小值為$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，…（7分）
②當(dāng)x＞10時，$\frac{Q（x）}{x}$═4（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{20}$）²+$\frac{99}{100}$，
∴當(dāng)$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{20}$，即x=20時，$\frac{Q（x）}{x}$的最小值為$\frac{99}{100}$＞$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
∴當(dāng)x=2$\sqrt{5}$時，$\frac{Q（x）}{x}$的最小值為$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，…（11分）
答：（Ⅰ）該工藝處理量x的取值范圍是0≤x≤6．
（Ⅱ）該企業(yè)處理量為22$\sqrt{5}$萬噸時，才能使每萬噸的平均處理成本最低，平均處理成本最低為$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$億元…（12分）

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．