【題目】如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.ECD邊的中點,F,G分別在線段AB,BCAF=2FB,CG=2GB.

(1)證明:PE⊥FG;

(2)求二面角PADC的正切值;

(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】試題分析:(1)通過△POC為等腰三角形可得PE⊥CD,利用線面垂直判定定理及性質(zhì)定理即得結(jié)論;

2)通過(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD,則∠PDC為二面角P﹣AD﹣C的平面角,利用勾股定理即得結(jié)論;

3)連結(jié)AC,利用勾股定理及已知條件可得FG∥AC,在△PAC中,利用余弦定理即得直線PA與直線FG所成角即為直線PA與直線FG所成角∠PAC的余弦值.

1)證明:在△POCPO=PCECD中點,

∴PE⊥CD

平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE平面PCD

∴PE⊥平面ABCD,

∵FG平面ABCD,

∴PE⊥FG;

2)解:由(1)知PE⊥平面ABCD∴PE⊥AD,

∵CD⊥ADPE∩CD=E,

∴AD⊥平面PDC,

∵PD平面PDC∴AD⊥PD,

∵AD⊥CD,∴∠PDC為二面角P﹣AD﹣C的平面角,

Rt△PDE中,由勾股定理可得:

PE===

∴tan∠PDC==;

3)解:連結(jié)AC,則AC==3,

Rt△ADP中,AP===5,

∵AF=2FB,CG=2GB

∴FG∥AC,

直線PA與直線FG所成角即為直線PA與直線FG所成角∠PAC,

△PAC中,由余弦定理得

cos∠PAC=

=

=

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某氣象儀器研究所按以下方案測試一種彈射型氣象觀測儀器的垂直彈射高度:A、B、C三地位于同一水平面上,在C處進行該儀器的垂直彈射,觀測點AB兩地相距100米,∠BAC60°,在A地聽到彈射聲音的時間比在B地晚

秒. A地測得該儀器彈至最高點H時的仰角為30°.

(1)求A、C兩地的距離;

(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若正數(shù)x,y滿足15x﹣y=22,則x3+y3﹣x2﹣y2的最小值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】)直線過點(2,3),且當(dāng)傾斜角是直線的傾斜角的二倍時,求直線方程.

)當(dāng)與軸正半軸交于點、軸正半軸交于點,且的面積最小時,求直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓錐曲線的方程為

)在所給坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線

)圓錐曲線的離心率__________

)如果頂點在原點的拋物線與圓錐曲線有一個公共焦點,且過第一象限,則

i)交點的坐標(biāo)為__________

ii)拋物線的方程為__________

iii)在圖中畫出拋物線的準(zhǔn)線.

)已知矩形各頂點都在圓錐曲線上,則矩形面積的最大值為__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),則

)函數(shù)定義域為__________

)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為__________

)對函數(shù)單調(diào)研究如下

____

)設(shè)函數(shù)

函數(shù)的最大值為__________

5)函數(shù)極值點共__________個,6其中極小值點有__________個.

7)若關(guān)于的方程恰有三個不相同的實數(shù)解,則的取值范圍為__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓,圓心為,定點, 為圓上一點,線段上一點滿足,直線上一點,滿足

(Ⅰ)求點的軌跡的方程;

(Ⅱ)為坐標(biāo)原點, 是以為直徑的圓,直線相切,并與軌跡交于不同的兩點.當(dāng)且滿足時,求面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若直線是異面直線,在平面內(nèi),在平面內(nèi),是平面與平面的交線,則下列結(jié)論正確的是( )

A. 至少與,中的一條相交 B. ,都不相交

C. ,都相交 D. 至多與,中的一條相交

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1所示,在等腰梯形中, .把沿折起,使得,得到四棱錐.如圖2所示.

(1)求證:面

(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案