Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=（1-mx）ln（1+x）．
（1）若當0＜x＜1時，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=x上方，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求證：$e＞{（\frac{1001}{1000}）^{1000.4}}$．

Answer 1

分析 （1）令F（x）=f（x）-x=（1-mx）ln（1+x）-x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定m的范圍即可；
（2）問題等價變形$（1+\frac{2}{5n}）ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＜0$，取$x=\frac{1}{n}（n≥2）$，都有$（1+\frac{2}{5n}）ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＜0$成立；取n=1000即可．

解答 解：（1）令F（x）=f（x）-x=（1-mx）ln（1+x）-x，
則$F'（x）=-mln（1+x）+\frac{1-mx}{1+x}-1$，x∈（0，1），
F″（x）=-$\frac{mx+2m+1}{{（1+x）}^{2}}$，
①當$m≤-\frac{1}{2}$時，由于x∈（0，1），有F″（x）≥0，
于是F'（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增，從而F'（x）＞F'（0）=0，
因此F（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增，即F（x）＞0；
②當m≥0時，由于x∈（0，1），有F″（x）＜0，
于是F'（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，從而F'（x）＜F'（0）=0，
因此F（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，即F（x）＜F（0）=0不符；
③當$-\frac{1}{2}＜m＜0$時，令${x_0}=min\{1，-\frac{2m+1}{m}\}$，當x∈（0，x₀]時，
F″（x）＜0，于是F'（x）在x∈（0，x₀]上單調(diào)遞減，
從而F'（x）＜F'（0）=0，因此F（x）在x∈（0，x₀]上單調(diào)遞減，
即F（x）＜F（0）=0而且僅有F（0）=0不符．
綜上可知，所求實數(shù)m的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{2}]$．
證明：（2）對要證明的不等式等價變形如下：
對于任意的正整數(shù)n，不等式${（1+\frac{1}{n}）^{n+\frac{2}{5}}}＜e$恒成立，
等價變形$（1+\frac{2}{5n}）ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＜0$相當于（2）中$m=-\frac{2}{5}$，${x_0}=\frac{1}{2}$的情形，
F（x）在$x∈（0，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞減，即F（x）＜F（0）=0；
取$x=\frac{1}{n}（n≥2）$，都有$（1+\frac{2}{5n}）ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＜0$成立；
令n=1000得證．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道綜合題．