19.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形,AA1⊥底面ABC,點E,F(xiàn)分別是棱CC1,BB1上的點,且EC=B1F=2FB.
(1)證明:平面AEF⊥平面ACC1A1
(2)若AA1=3,求點E到平面ACF的距離.

分析 (1)取AC中點M,連接BM,則BM⊥AC,從而BM⊥平面ACC1A1.取AE中點N,連接MN,F(xiàn)N,則MN∥EC,推導(dǎo)出四邊形BMNF是平行四邊形,由此能證明平面AEF⊥平面ACC1A1
(2)連接MF,由AC⊥平面BMNF,得AC⊥MF,設(shè)點E到平面ACF的距離為h,由VE-ACF=VF-ACE,能求出點E到平面ACF的距離.

解答 證明:(1)取AC中點M,連接BM,則BM⊥AC,因為AA1⊥底面ABC,
所以側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC,所以BM⊥平面ACC1A1
取AE中點N,連接MN,F(xiàn)N,則MN∥EC,且$MN=\frac{1}{2}EC$,
又因為BB1∥CC1,EC=2FB,所以FB∥EC且$FB=\frac{1}{2}EC$,
所以MN∥FB且MN=FB,所以四邊形BMNF是平行四邊形,
所以FN∥BM,所以FN⊥平面ACC1A1.又FN?平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ACC1A1. …(6分)
解:(2)由(1)可知,F(xiàn)N⊥平面ACE,連接MF,由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF,
因為AA1=3,依題意得$MF=\sqrt{{{(\sqrt{3})}^2}+{1^2}}=2$,所以${S_{△ACF}}=\frac{1}{2}×2×2=2$,
設(shè)點E到平面ACF的距離為h,由VE-ACF=VF-ACE,得$\frac{1}{3}{S_{△ACF}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ACE}}•FN$,
即$2h=\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$,所以$h=\sqrt{3}$
故點E到平面ACF的距離為$\sqrt{3}$.    …(12分)

點評 本題考查面面垂直的證明,考查點到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列,若是請求出通項公式,若不是請說明理由.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)過點F2的直線l交橢圓C于點M,N,若$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$,求直線l的方程.

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