Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosA+cosB}{sinA+sinB}$．
（1）求∠C的大��；
（2）若c=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosA+cosB}{sinA+sinB}$，可得sin（A-C）=sin（C-B），A-C=C-B，或A-C=π-（C-B）（舍去）．即可得出．
（2）由c=2，可得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-4}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosA+cosB}{sinA+sinB}$，
∴cosCsinA+cosCsinB=sinCcosA+sinCcosB，cosCsinA-sinCcosA=sinCcosB-cosCsinB，
得sin（A-C）=sin（C-B），∴A-C=C-B，或A-C=π-（C-B）（舍去）．
∴2C=A+B=π-C，解得C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=2，∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-4}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²-4=ab≥2ab-4，∴ab≤4，（當且僅當a=b=2取等號）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
則△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形面積計算公式、余弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．