Question

12．若曲線 ${C_1}：y={x^2}$與曲線 ${C_2}：y=a{e^x}（a≠0）$存在唯一條公共切線，則a的取值范圍為a＜0或a=$\frac{4}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n-2，則4n-4=aeⁿ有唯一解．再由導(dǎo)數(shù)即可進(jìn)一步求得a的取值．

解答 解：y=x²在點(diǎn)（m，m²）的切線斜率為2m，
y=ae^x在點(diǎn)（n，aeⁿ）的切線斜率為aeⁿ，
如果兩個(gè)曲線存在唯一一條公共切線，那么：2m=aeⁿ．
又由斜率公式得到，2m=$\frac{{m}^{2}-a8d12f2f^{n}}{m-n}$，
由此得到m=2n-2，
則4n-4=aeⁿ有唯一解．
由y=4x-4，y=ae^x的圖象有唯一交點(diǎn)即可．
a＜0，顯然滿足，
a＞0，設(shè)切點(diǎn)為（s，t），則ae^s=4，且t=4s-4=ae^s，
即有切點(diǎn)（2，4），a=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故答案為a＜0或a=$\frac{4}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．