Question

7．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) P的極坐標(biāo)是$（{\sqrt{3}，\frac{π}{2}}）$，曲線 C的極坐標(biāo)方程為$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{3}}）$．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為-1的直線 l經(jīng)過點(diǎn)P．
（1）寫出直線 l的參數(shù)方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線 l和曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}+\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為$（{0，\sqrt{3}}）$，直線l的傾斜角為135°，由此能求出直線l的參數(shù)方程．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）代入${（{x-1}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=4$，得${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，設(shè)A，B對應(yīng)參數(shù)分別為t₁t₂，根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{3}}）$可得$ρ=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，
即${ρ^2}=2ρcosθ+2\sqrt{3}ρsinθ$，
因此曲線C的直角坐標(biāo)方程為${x^2}+{y^2}-2x-2\sqrt{3}y=0$，
即${（{x-1}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=4$，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為$（{0，\sqrt{3}}）$，
直線l的傾斜角為135°，
所以直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）代入${（{x-1}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=4$，
得${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，設(shè)A，B對應(yīng)參數(shù)分別為t₁t₂，
有${t_1}+{t_2}=\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-3$，根據(jù)直線參數(shù)方程 t的幾何意義，得：
$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}+\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{{{{|{PA}|}^2}+{{|{PB}|}^2}}}{{|{PA}|•|{PB}|}}=\frac{{{t_1}^2+{t_2}^2}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-2{t_1}{t_2}}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．