【題目】如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCDPD=DC,EPC的中點(diǎn).

)證明PA//平面BDE;

)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;

)在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.

【答案】)證明見解析;( ;()證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DCDP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明PA∥平面BDE;(Ⅱ)由已知求出平面BDE的一個法向量和平面DEC的一個法向量,利用向量法能求出二面角BDEC的余弦值;(Ⅲ)由已知得PBDE,假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF,設(shè),(0λ1),由此利用向量法能求出在棱PB上存在點(diǎn)F,PF=,使得PB⊥平面DEF

)證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),

分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PD=DC=2,則A20,0),P0,0,2),E0,1,1),B22,0),

=2,0,﹣2),=0,1,1),

設(shè)是平面BDE的一個法向量,

則由,得

y=1,得

=22=0,

PA不包含于平面BDE,PA∥平面BDE

)由()知=1,﹣1,1)是平面BDE的一個法向量,

==2,00)是平面DEC的一個法向量.

設(shè)二面角BDEC的平面角為θ,

∴cosθ=cos=

故二面角BDEC的余弦值為

=2,2,﹣2),=01,1),

=0,∴PB⊥DE,

假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF,設(shè),(0λ∠1),

=,,﹣),==,2),

=0,得2+4λ22=0,

01),此時PF=,

即在棱PB上存在點(diǎn)FPF=,使得PB⊥平面DEF

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某家庭進(jìn)行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元。

(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,怎樣分配資金才能獲得最大收益?其最大收益為多少萬元?

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6

6.5

7

7.5

8

6

7

8

9

10

11

12

3

4.5

6

7.5

9

10.5

12

13.5

1)求三個班中學(xué)生人數(shù)之比;

2)估計這個學(xué)校高一年級學(xué)生中,一周的鍛煉時間超過10h的百分比;

3)估計這個學(xué)校高一年級學(xué)生一周的平均鍛煉時間.

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【題目】設(shè)為兩個隨機(jī)事件,給出以下命題:(1)若為互斥事件,且,,則;(2)若,,,則為相互獨(dú)立事件;(3)若,,則為相互獨(dú)立事件;(4)若,,則為相互獨(dú)立事件;(5)若,,則為相互獨(dú)立事件;其中正確命題的個數(shù)為( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

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【題目】近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益P與投入(單位:萬元)滿足,乙城市收益Q與投入(單位:萬元)滿足,設(shè)甲城市的投入為(單位:萬元),兩個城市的總收益為(單位:萬元).

(1)當(dāng)甲城市投資50萬元時,求此時公司總收益;

(2)試問如何安排甲、乙兩個城市的投資,才能使總收益最大?

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【題目】閱讀:

已知、,求的最小值.

解法如下:,

當(dāng)且僅當(dāng),即時取到等號,

的最小值為.

應(yīng)用上述解法,求解下列問題:

(1)已知,求的最小值;

(2)已知,求函數(shù)的最小值;

(3)已知正數(shù)、,,

求證:.

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【題目】在某次人才招聘會上,假定某畢業(yè)生贏得甲公司面試機(jī)會的概率為,贏得乙、丙兩公司面試機(jī)會的概率均為,且三家公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的,則該畢業(yè)生只贏得甲、乙兩家公司面試機(jī)會的概率為(

A.B.C.D.

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