Question

13．為宣傳3月5日學雷鋒紀念日，成都七中在高一，高二年級中舉行學雷鋒知識競賽，每年級出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，乙隊每人答對的概率都是$\frac{2}{3}$．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示甲隊總得分．
（1）求隨機變量X的分布列及其數(shù)學期望E（X）；
（2）求甲隊和乙隊得分之和為4的概率．

Answer 1

分析 （1）X的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．
（2）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”事件A，包含“甲隊3分且乙隊1分”，“甲隊2分且乙隊2分”，“甲隊1分且乙隊3分”三個基本事件，由此能求出甲隊和乙隊得分之和為4的概率．

解答 解：（1）X的可能取值為0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$，
$P（X=1）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P（X=2）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$，
$P（X=3）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

…（6分）
$E（X）=0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}=\frac{23}{12}$．…（7分）
（2）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”事件A，包含“甲隊3分且乙隊1分”，
“甲隊2分且乙隊2分”，“甲隊1分且乙隊3分”三個基本事件，
則：$P（A）=\frac{1}{4}×C_3^1×\frac{2}{3}×{（\frac{1}{3}）^2}+\frac{11}{24}×C_3^2×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查概率的求法，考查考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．