Question

6．已知函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{1}{x}$，g（x）=bx，a，b∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）對于任意a∈[0，1]，任意x∈[2，e]，總有f（x）≤g（x），求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）令$g（a）=alnx+\frac{1}{x}-bx$，問題轉化為$b≥\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}$令$h（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}（{x∈[{2，e}]}）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=alnx+\frac{1}{x}$則$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{ax-1}{x^2}（{x＞0}）$，
當a≤0時，f'（x）≤0恒成立，即f（x）遞減區(qū)間為（0，+∞），不存在增區(qū)間；
當a＞0時，令f'（x）＞0得$x＞\frac{1}{a}$，令f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{1}{a}$，
∴f（x）遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{a}}）$，遞增區(qū)間$（{\frac{1}{a}，+∞}）$；
綜上：當a≤0時，f（x）遞減區(qū)間為（0，+∞），不存在增區(qū)間；
當a＞0時，f（x）遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{a}}）$，遞增區(qū)間$（{\frac{1}{a}，+∞}）$；
（Ⅱ）令$g（a）=alnx+\frac{1}{x}-bx$，由已知得只需g（1）≤0即$lnx+\frac{1}{x}-bx\;≤0$
若對任意x∈[2，e]，$lnx+\frac{1}{x}-bx\;≤0$恒成立，即$b≥\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}$
令$h（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}（{x∈[{2，e}]}）$，則$h'（x）=\frac{x-xlnx-2}{x^3}$
設m（x）=x-xlnx-2（x∈[2，e]），則m'（x）=1-（1+lnx）=-lnx＜0
∴m（x）在[2，e]遞減，m（x）≤m（2）=-2ln2＜0即h'（x）＜0
∴h（x）在[2，e]遞減，∴$h{（x）_{max}}=h（2）=\frac{ln2}{2}+\frac{1}{4}$即$b≥\frac{ln2}{2}+\frac{1}{4}$，
∴b的取值范圍為$[{\frac{ln2}{2}+\frac{1}{4}，+∞}）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．