Question

17．如圖所示，正八邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈的邊長(zhǎng)為2，若P為該正八邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$的取值范圍為（　�。�

• A． $[0，8+6\sqrt{2}]$
• B． $[-2\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$
• C． $[-8-6\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$
• D． $[-8-6\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由題意求出以A₁為起點(diǎn)，以其它頂點(diǎn)為向量的模，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可得當(dāng)P與A₈重合時(shí)，$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$取最小值，求出最小值，結(jié)合選項(xiàng)得答案．

解答 解：由題意，正八邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈的每一個(gè)內(nèi)角為135°，
且$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}|=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{8}}|=2$，$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}|=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{7}}|=2\sqrt{2+\sqrt{2}}$，$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{4}}|=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}|=2+\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{5}}|=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．
再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可得，
當(dāng)P與A₈重合時(shí)，$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$最小為$2×2\sqrt{2+\sqrt{2}}×cos112.5°$=$2×2\sqrt{2+\sqrt{2}}×（-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}）$=$-2\sqrt{2}$．
結(jié)合選項(xiàng)可得$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$的取值范圍為$[-2\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．