Question

8．如果△ABC內(nèi)接于單位圓，且$（{a^2}-{c^2}）=（\sqrt{2}a-b）b$，則△ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．

Answer 1

分析 △ABC內(nèi)接于單位圓，可得R_外=1，由$（{a^2}-{c^2}）=（\sqrt{2}a-b）b$，根據(jù)余弦定理可得coaC，根據(jù)S=$\frac{1}{2}absinC$利用三角函數(shù)的有界限求解△ABC面積的最大值．

解答 解：由題意，△ABC內(nèi)接于單位圓，
可得R_外=1，
由$（{a^2}-{c^2}）=（\sqrt{2}a-b）b$，即${a}^{2}+^{2}-{c}^{2}=\sqrt{2}ab$，
那么：cosC=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{4}$，
則A+B=$\frac{3π}{4}$．
正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\sqrt{2}$sinAsinB=$\sqrt{2}$sinAsin（$\frac{3π}{4}-A$）=$\frac{1}{2}$sin2A+sin²A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$，
∵$0＜A＜\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{π}{4}＜$2A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{4π}{3}$，
當(dāng)2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
△ABC面積的最大值為：$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了正余弦定理的運(yùn)用和計算化解能力．同時考查了利用三角函數(shù)的有界限求解最值問題．