Question

13．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，滿足關(guān)系式$2{S_n}=\frac{9}{4}{a_n}-\frac{9}{4}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項公式是${b_n}=\frac{1}{{（{{log}_3}{a_n}-1）（{{log}_3}{a_n}+1）}}$，前n項和為T_n，求證：對于任意的正整數(shù)n，總有${T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程組，利用作差法進行求解，得到故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解即可，
（2）求出數(shù)列的通項公式，利用裂項法進行求和．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2{S_n}=\frac{9}{4}{a_n}-\frac{9}{4}\\ 2{S_{n-1}}=\frac{9}{4}{a_{n-1}}-\frac{9}{4}（n≥2）\end{array}\right.$．
兩式作差得$2（{S_n}-{S_{n-1}}）=2{a_n}=\frac{9}{4}{a_n}-\frac{9}{4}{a_{n-1}}$
即a_n=9a_n-1（n≥2）
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且q=9，
又當(dāng)n=1時，$2{a_1}=\frac{9}{4}{a_1}-\frac{9}{4}$，
∴a₁=9∴${a_n}={9^n}（n≥2）$而a₁=9亦適合上式，
∴${a_n}={9^n}（n∈{N^*}）$．
（2）${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
所以${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+$$…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=1-\frac{1}{2n+1}＜1$

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解以及求和的應(yīng)用，利用方程組法求出數(shù)列的通項公式以及利用裂項法進行求和是解決本題的關(guān)鍵．