Question

已知圓心為C的圓，滿(mǎn)足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線(xiàn)3x-4y+7=0相切，且被軸截得的弦長(zhǎng)為，圓C的面積小于13．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0，3)的直線(xiàn)l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（I）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)²+y²=4；（Ⅱ）不存在這樣的直線(xiàn)l．

解析試題分析：（I）用待定系數(shù)法即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）首先考慮斜率不存在的情況.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂).l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，那么Δ>0.由題設(shè)及韋達(dá)定理可得k與x₁、x₂之間關(guān)系式，進(jìn)而求出k的值.若k的值滿(mǎn)足Δ>0，則存在；若k的值不滿(mǎn)足Δ>0，則不存在.
試題解析：（I）設(shè)圓C：(x-a)²+y²=R²(a>0)，由題意知
 解得a=1或a=，                  3分
又∵S=πR²<13，
∴a=1，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)²+y²=4．                  6分
（Ⅱ）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l為：x=0不滿(mǎn)足題意．
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
又∵l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，
聯(lián)立消去y得：(1+k²)x²+(6k-2)x+6=0，        9分
∴Δ=(6k-2)²-24(1+k²)=36k²-6k-5>0，
解得或．
x₁+x₂=，y₁+ y₂=k(x₁+x₂)+6=，
，，
假設(shè)∥，則，
∴，
解得，假設(shè)不成立．
∴不存在這樣的直線(xiàn)l．                   13分
考點(diǎn)：1、圓的方程；2、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.